mercredi, novembre 17, 2010

La Géométrie est VIVANTE

Il faut VIVRE et aimer la géométrie...

Ce matin, au petit déjeuner, mes filles, qui ADORENT la géométrie me racontent qu’elles ont travaillé sur les droites parallèles à l’école et sur les angles droits...

Alors, pensant à la conversation d’hier par mail avec mon copain Francis*, je leur pose la question suivante :

- C’est quoi une droite ?

- C’est une ligne qu’on fait sur une feuille...


- Et un point ?

- Ben c’est un point quoi !

- Un point ou une droite dessinés sur une feuille, ce sont des "vrais" ?

- Ben oui...

- Ben non mes chéries, je ne suis pas d’accord.

- Pourquoi ?


- Je vais vous expliquer...

Si vous dessinez un chat sur une feuille, est ce que c’est un “vrai” chat ? Est ce qu'il va faire "miaou" et pisser sur le mur ?

Rires...

- Ah non, c’est juste un dessin, c’est pas un vrai chat !

- Mais si vous dessinez une droite sur une feuille alors, est ce que c’est une “vraie” droite ?

- Maé me réponds... Non, parce que une vraie droite elle ne s’arrête pas et sur une feuille on est obligés de l’arrêter...

- Donc tu me dis que tu ne peux dessiner que des segments de droite n’est ce pas ?

- C’est quoi un segment ?

- Un morceau.

- Ben oui, je dessine un segment...

- Ok, alors est ce que ton segment c’est un vrai, comme le chat ?

- Sam intervient, elle commence à comprendre... Ben non, c’est juste un dessin.

- Maé me demande... Maman, les droites et les segments, ce sont des vraies choses, comme le chat ?

- Ben oui. Et à votre avis, c’est quoi un point ?

- Là, quasiment en cœur, c’est une vraie chose !

- Ok, alors montrez moi un point...

Maé ramasse une miette de pain sur la table..


- Ok, alors, quand on a 2 points, on peut y faire passer combien de droites ?

- En cœur... une seule !...

- Hum, vous avez bien appris votre leçon, mais voyons voir... Si j’ai un très gros feutre et que je dessine deux très gros points, mais très très gros hein, comme ça au moins (je fais semblant de dessiner 2 très gros ronds sur la table) O
Alors là, je vais pouvoir y faire passer combien de droites ?

Grande perplexité de mes filles... Finalement Sam me répond,

Heuuu au moins 4....

Maé reste perplexe, finalement elle choisit de copier un peu sa sœur et réponds.

Peut être un peu plus même...


Je souris.

- Bon, si tu fais un dessin de chat sur une feuille, est ce que c’est un vrai chat ?

En cœur... Nooooon

- Ton dessin de chat il est en général plus gros ou plus petit qu’un vrai chat ?

- Plus petit !

- Ok, et si je vous demandes de faire un dessin de souris, et que vous me dessinez une souris sur toute la feuille, ça fait une grosse souris n’est ce pas ?

- Ouiiii

- Bon mais c’est une vrai souris ou pas ?

- Non, c’est juste le dessin d’une souris qui est gros...

- Et votre dessin de point, c’est quoi la “vraie taille” d’un point ?

Long moment de réflexion... Elles ne savent pas...

Je reprends, ok, alors les mathématiciens ont décidé de dire que la taille d’un point c’est juste “le plus petit possible”...

- Ah ? Me disent-elles...

- Si vous dessinez un point le plus petit possible, ça pose un problème ?

- Ben oui, me dit Maé, le maître il ne va pas le voir !

- Bon, alors mes chéries, si je vous demande maintenant de me dessiner un microbe, est ce que vous allez pouvoir le faire ?

- Oui, dit Sam, parce que c’est juste un dessin, je peux le faire “gros”.

- Ahhhhh dit Maé qui a compris, mais le point aussi c’est juste un dessin alors je peux le faire gros !

- Tout à fait, tout à fait ma chérie.... Et, dis moi, c’est quoi la l’épaisseur d’une droite, ou d’un segment de droite ?

- Sam hurle, je sais, je sais, alors c’est pareil que le point !

- Exactement, bravo ma chérie...

- Alors maintenant vous allez pouvoir re-répondre à ma question, si je dessine 2 très gros points, combien vous allez pouvoir faire passer de droites dedans ?

- Presque en cœur elles me répondent : une seule mais qui sera aussi grosse (épaisse) que les points !!!!

- Ahhhh bravo ! .... Mais moi, en fait, j’ai fait 2 points et puis j’ai tracé une première droite dessus, en jaune, et puis une deuxième, en rouge, et une troisième, en vert. Alors j’ai tracé 3 droites entre ces 2 points, non ? Qu’est ce que vous en pensez ?

Perplexité...

Je reprends... alors, en faisant ça, j’ai tracé une seule droite ou 3 ???

- Maé me dit, “une seule de toutes les couleurs”, Sam me dit “non, c’est vrai qu’il y en a trois”...

- Je m’adresse à Sam... Ma chérie, si tu dessines un chat, et que tu le colorie en jaune, puis en rouge, puis en vert, dis moi, est ce que c’est toujours un dessin de chat ?

- Oui...

- Mais est ce que c’est le dessin d’un seul chat ?

- Ahhhhh ouiiiiiii, dit elle, la droite, c’est toujours la même, on s’en fout de sa couleur !

- Ben voilà mes chéries, vous avez tout compris...

Maintenant, puisqu’on est d’accord que les choses de géométrie elles sont réelles, comme les chats, dites moi, vous pouvez m’en montrer autour de vous ?

Là elles montrent les angles droits des meubles etc.

Alors, ça sert à quoi la géométrie mes chéries ?

- Maé dit : A fabriquer des maisons !!!

- Oui, ma chérie, tu as raison, mais regardez toutes les deux... Je prends une orange et la coupe en deux (on fera du jus après) regardez, c’est un cercle et il y a le centre... la nature aussi elle fait de la géométrie.

- Ahhhhhhhhhh disent-elles.

- Alors ça sert à comprendre le monde ? Me dit Sam ...

- Oui, et à bien plus encore, ça apprends à votre cerveau à faire des choses parfaites, c’est chouette non ? On va faire encore un truc., regardez par la fenêtre et dites moi si vous pouvez voir 2 droites parallèles ?

Elles regardent mais ne voient pas.

- Regardez la route...

- Ahhhh ouiiii, dit encore Maé, chaque côté de la route c’est une droite parallèle !

- Oui, dis je, seulement si on imagine que la route est toute droite et qu'elle ne s'arrête jamais...

Mais si les 2 droites se rencontraient qu’est ce que ça ferait ?

- Ensemble “un accident “!!!!!

On rigole toutes les 3....


Merci Francis de m’avoir ouvert les yeux sur ce problème d’apprentissage de nos enfants :-)

Pour les lecteurs, je précise, Francis Reynes, oui, celui qui fait aussi de si belles chansons, est un professeur de maths à la retraite et pendant 30 ans il a fait des recherches sur la compréhension des maths, sur comment les enseigner... Hier il m'a envoyé le texte de l'exposé qu'il à fait à la Société Belge des Professeurs de Mathématique d'expression française.

Je lui ai envoyé ce texte de la discussion avec les puces de ce matin et nous avons décidé ensemble de vous en parler. Francis va aussi répondre ici à vos questions si ça vous intéresse :-)

Voici ce qu'il m'a répondu:

Super, votre petit dialogue ! impeccable ! Bravo ! Bien sûr qu'il faut mettre ça sur votre blog !

Vous pourriez aussi y mettre les adresses où l'on peut trouver mon compte rendu et les fiches-élèves. Je vous les redonne :

Compte rendu téléchargeable en "pdf" : http://www.sbpm.be/wp-content/uploads/2010/05/Compte-rendu-Dinant-F.-Reynès.pdf

Fiches 1 à 12 téléchargeables en "pdf" : http://www.sbpm.be/wp-content/uploads/2010/05/F.-Reynès-Fiches-élèves-1à12.pdf

Fiches 13 à 24 téléchargeables en "pdf" : http://www.sbpm.be/wp-content/uploads/2010/05/F.-Reynès-Fiches-élèves-13à24.pdf

Site de la SBPMef ( Société Belge des Professeurs de Mathématique d'expression française ) : http://www.sbpm.be/

Voici également la présentation que j'avais faite pour la conférence :

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Francis REYNES

Ex-professeur, 14 ans coopérant (10 au Cameroun puis 4 au Sénégal) puis 21 ans au collège d’Arcachon, environ 30 ans de recherche et d’expérimentation dont près de 20 à l’IREM d’Aquitaine puis à la commission inter-IREM 1er cycle. (Une douzaine d’articles publiés dans diverses revues ou brochures)…

Le langage mathématique, pourquoi, comment ?…

« C’est dans le mot que nous pensons » (Hegel). C’est pourquoi, face aux demandes de réussite des élèves, des parents et de l’institution, tous plus ou moins tentés par l’utilisation de « recettes » qui restent locales et éphémères, notre visée demeure la compréhension : il s’agit de savoir de quoi on parle et comment on en parle. Nous aborderons d’abord le statut des « objets mathématiques » par le biais de « la trahison des images ». Puis nous parlerons du concept d’égalité, indispensable en algèbre, pas inutile en géométrie, mais hélas quasi ignoré des élèves. Nous aborderons ensuite le langage algébrique, la spécificité et l’efficacité de son symbolisme (l’usage des lettres) et la nécessité d’utiliser des traductions (thème et version, codage et décodage) avec le « langage naturel » pour que son formalisme prenne sens.

Nous donnerons des exemples d’activités facilitant l’acquisition de quelques notions fondamentales ainsi que de leur synergie.
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Je veux bien, et avec plaisir, participer à votre blog : qui dit "blog" dit "dialogue", alors je pourrais peut-être tenter de répondre à des questions que poseraient des élèves et/ou leurs parents.

24 commentaires:

Moukmouk a dit…

J'aime beaucoup...mais si la ligne et le point était des mots... des mots qui tentent de décrire la réalité mais ne réussissent pas vraiment... comme le mot chat, qui décrit tant d'être vivant au caractères formes et grosseurs si différentes... Les mots et les choses.

Anonyme a dit…

Super, cette leçon de mathématiques, j'ai moi aussi tt compris, on ne me l'avait jamais si bien expliqué;-))))
Bises suisses. Isabelle

Plume a dit…

Tili,
Je me régale de te lire.
Et dès que j'aurai à nouveau 5 minutes je cliquerai sur tes liens!

Sahraoui a dit…

1- Tu es pas mal comme prof pour des gamins. Je ne sais pas ce que tu peux faire avec des Lyceens?
2- Tu as fais tes devoirs avec Bertrand. Car avec ta logique tu allais leur parler de l'origine des cordes quantiques et... de la gravite quantique//c'est comme ca que ca commence..est ce un gros point vraiment un point.
3- Bertrand faisait quoi pendant ce temps la? tu lui a vole son moment de gloire.
4- I enjoyed immensely.

ElleEstTropTinette a dit…

Ouah ! Alors moi les maths, la physique... ça a souvent été un peu fastidieux, l'orthographe et la grammaire aussi d'ailleurs. Pourtant j'y suis arrivée et j'ai décroché le baccalauréat scientifique. J'ai essayé la fac de sciences... A partir de là j'étais complètement paumée. Impossible de conçevoir une figure géométrique dans un espace de plus de 4 dimensions. Un blocage complet. Si ton ami pouvais me faire une petite leçon là dessus. Où me dire pourquoi je n'y arrive pas.

Je me suis orientée vers les sciences humaines. Et là j'ai vu que les maths, la physique ça existait dans la vie des hommes, ça existait dans les paysages... Tout de suite c'est devenu un peu plus simple. Et j'obtenais de très bon résultats dans les disciplines de cartographie, géomorphologie, analyse spatiale. Mais aussi dans toutes les disciplines plus sociales. Mes professeurs me disaient que j'avais une capacité d'analyse et de synthèse. Et on me le dit encore aujourd'hui dans mon métier. Etrangement, mes problèmes d'orthographe et de grammaire se sont résolus. En lisant cette démonstration, je crois que je commence à comprendre. Merci ;-)

Et puis j'ai découvert que l'on pouvait écrire de la poésie en language mathématique. (cf "de l'origine des mathématiques" de Clémence Gandillot aux éditions Memo).

Des poètes, des musiciens, des peintres ... font des mathématiques, font de la géométrie, et je trouve ça passionnant.

Mon frère est prof de philo en lycée technique. Quand ses élèves lui demandent à quoi ça sert, il répond: "à la même chose que les maths... structurer votre pensée".

CQFD.

ElleEstTropTinette a dit…

Je reviens, parceque j'ai trouvé ce que je cherchais! Un texte epostouflant qui devrait plaire à ton ami mathématicien.

http://2009.premiers-actes.eu/006-jonas-orphee.php

Devrait aussi plaire à ton ami moukmouk qui suggère que la ligne et le point soient remplacés par des mots.

Sosso a dit…

Mon avis c'est qu’elles ont de la chance d’avoir une maman qui leur explique autant de choses. Mais qu'à l'école la géométrie devrait être expliquée de manière aussi concrète, or, ce n'est malheureusement pas toujours le cas.

Perso, à ma petite échelle de maîtresse de maternelle, quand on commence à identifier des formes avec les élèves, on cherche d'abord toujours autour de nous pour voir où ils se cachent dans les objets ;-)

Là où je coince c'est sur la notion d'angle en maternelle (important pour définir un carré ou un triangle il me semble, mais pas facile à expliquer simplement. Si ton professeur a une idée (pour des enfants de 5 ans), je prends!

Guilitti a dit…

C'est rigolo, j'ai enquiquiné mes élèves ce matin, avec les segments et les vecteurs : [AB] et [CD], vous voyez, ce sont deux segments différents.. ils ont la même longueur, certes, mais bon il y en a un là, et l'autre ici.. tandis que le vecteur AB, et bien... je peux en dessiner deux représentants, u et v, j'aurai des flèches bien distinctes..et pourtant u = v ...

Pour tes droites, points etc, je ne suis pas sure que les instits soient tous capables d'en saisir la subtilité.... et comme ce qui se ne conçoit pas super bien s'énonce super mal et les mots pour le dire n'arrivent pas aisément, heu.... (sans coté que le coté privilégié du dialogue est très dur à réaliser en classe à 30). Mais je fournis les liens !!!
bisous

Tanakia a dit…

Merci Tili c'est savoureux à lire et j'imagine bien la lumière dans les yeux de tes filles et toi qui jubile à côté.
Tu montres très bien que pour apprendre il faut se sentir parfaitement autorisé à se tromper !
bises

Valérie de Haute Savoie a dit…

C'est en te lisant que je réalise que je suis totalement réfractaire aux maths à la géométrie (aux leçons je crois tout simplement) et je ne sais ce qui a induit ce rejet complet et malgré des années d'analyse toujours aussi puissant. Peut être que si j'avais eu des professeurs plus axés sur le désir de faire découvrir que celui de pénaliser avec jouissance, j'aurais été plus coopérante.Lorsque mes enfants étaient petits j'ai utilisé des méthodes ludiques comme les tiennes et cela a dû faire effet puisqu'ils sont tous les deux maintenant bâchelier et étudiants :D

Béatrice a dit…

Si tous les professeurs de mathématiques pouvaient aborder cette science de cette façon... un véritable bonheur que cette conversation entre vous 3, un vrai partage, un vrai échange, une belle et vraie leçon. Bises pour une belle et douce journée.

IsabelleDeLyon a dit…

J'ai beaucoup aimé ton post.
A l'école de mes filles, on pouvait s'inscrire pour justement apprendre les gestes mentaux pour mieux aider nos enfants à appréhender les maths.
Et justement ma fille, en CM1, a aussi appris les droites, devait trouver chez elle, des droits dans son environnement, mais aussi des figures différentes, devait faire des dessins symétriques par pliage, touver l'axe de symétrie...
Je vois que sa maîtresse a bien suivi cet enseignement et qu'elle le restitue dans le même esprit que toi aux enfants.
Rien de mieux pour leur faire aimer les maths plutôt que d'en faire un truc ennuyeux qui ne sert à rien.

Anonyme a dit…

Juste une petite clarification à propos de votre texte :

"Maintenant, puisqu’on est d’accord que les choses de géométrie elles sont réelles, comme les chats, dites moi, vous pouvez m’en montrer autour de vous ?"

Les "objets mathématiques" ne sont pas des objets physiques, matériels : ce sont des "objets idéels", des concepts. Leur élaboration peut trouver sa source dans des objets physiques (par exemple l'image du soleil ou de la pleine Lune a sûrement aidé à concevoir le concept de cercle ou de disque). Ce qui fait leur intérêt et leur puissance c'est qu'ils peuvent servir de "modèle" à toute une classe d'objets physiques.

"Considérons les objets géométriques de base : points, droites, cercles, plans, sphères. Ces figures peuvent nous rappeler des objets concrets : un point serait la trace d'un crayon bien taillé sur le papier ; une droite, un fil tendu ; un cercle, une roue ; un plan, une table ; une sphère, une balle. Et d'ailleurs on se sert de ces figures géométriques pour « représenter » (ce qui ne veut pas dire reproduire exactement) des objets physiques. On dira qu'une masse est ponctuelle, que sa trajectoire est une droite ou un cercle. La Terre sera assimilée à une sphère. Pourtant aucun des objets géométriques n'existe pour de bon dans la nature." Christian Magnan

À consulter sur : http://www.lacosmo.com/Pomme67.html

À suivre...

Francis

Tili a dit…

Oui,
En fait, j'en suis bien consciente, mais j'avais la sensation que, à 9 ans, mes filles ne peuvent élaborer une géométrie que "réelle", sinon elles n'étendent pas la représentation de la figure géométrique au delà de son dessin sur le papier.
C'est ce que j'ai voulu vérifier avec mes questions perfides sur le nombre de droites en fonction de la taille du point puis sur la droite repassée de différentes couleurs... Au début elles avaient donné la réponse exacte "par 2 points il ne peut passer qu'une seule droite" mais en interrogeant leur compréhension du concept de "point" et de "droite" ça a changé la réponse..

Avec l'accroissement de leur cortex frontal (qui fini sa maturation vers 20 ans) j'ai bien confiance qu'elle finiront par manier les symboles parfaits que sont ces concepts géométriques.

Il y a une chose qui m'a interpellée aussi, je suppose que ça vous à interrogé aussi... c'est que des ADULTES disent n'avoir compris qu'en lisant cette explication que j'ai mise à la portée de mes petites filles.

Serait-il possible que ce soit lié au fait qu'on aborde la géométrie de façon théorique en maniant des concepts abstraits que l'enfant n'est pas encore capable de manier pour une simple raison de maturité cérébrale ?
Ce que je veux dire c'est "est ce que les enfants sont capables de comprendre, par exemple, qu'une droite théorique ne s'arrête jamais" ?
Ma fille, Maé (qui est une fine mouche) m'a fait remarquer que alors ça veut dire que la droite, c'est un cercle, car si elle ne s'arrête jamais, elle va faire le tour de la terre et revenir s'attacher à son point de départ...

J'ai répondu à Maé que la droite n'était pas soumise à la gravité terrestre et j'ai maudit le fait que mon physicien-mathématicien de Mari, qui est en déplacement professionnel ces jours ci, ne soit pas là pour répondre à sa fille ;-)

Tili a dit…

Maé (encore) m'a fait une blague ce matin.
"Tu sais Maman, j'ai pensé à ta question de dessiner un microbe, je peux te faire un microbe tu vas voir"

Elle s'est levée, s'est approchée le doigt tendu de la liste de courses accrochée sur le frigo, elle a "écrasé" le bout de son doigt sur la feuille.

Puis elle a regardé mon air éberlué et m'a dit :

"Voilà, j'ai écrasé le microbe sur la feuille, maintenant il est là!"

Francis a dit…

Avant de pouvoir comprendre, il faut pouvoir imaginer. La ligne et le point ne sont pas que “des mots qui tentent de décrire la réalité” mais des concepts qui permettent de créer des modèles. Inventer ces concepts requiert de l’imagination. Il n’y a pas à “comprendre” qu’un point a une dimension nulle ou qu’une droite a une “longueur infinie” : il faut être capable de l’imaginer pour pouvoir en tirer des conséquences. Il n’y a pas de jeu sans règles et pour jouer il faut admettre les règles. De même, pour jouer à la géométrie, il faut admettre que “par deux points il passe une droite et une seule”. Alors, et alors seulement, on peut comprendre les conséquences de cette règle (par exemple que deux droites non disjointes ont un et un seul point commun).

On peut parler d’”angle droit” pour un rectangle à l’école élémentaire car c’est un cas certes particulier mais simple et riche dont on peut facilement donner des images. Mais le concept général d’angle est difficile : pour le comprendre vraiment il faut avoir une petite idée de ce qu’on appelle une “classe d’équivalence” . À mon humble avis il est prématuré de l’aborder avant le collège. (idem pour les vecteurs que l’on introduit désormais seulement au lycée).

Francis a dit…

Un lien intéressant sur le rapport concret-abstrait :

http://www.lacosmo.com/Pomme67.html

au bas de la page cliquez sur "A suivre" pour ... avoir la suite...

Bellzouzou! a dit…

j'aurais voulu apprendre les maths avec toi, dis donc!

Marianne a dit…

On en redemande , même à mon âge bravo !

chumtili a dit…

Bon anniversaire Tili

dieudeschats a dit…

J'adore le "un accident" :-)))

dieudeschats a dit…

Et je ne sais pas de quand date le commentaire précédent, donc quelle est l'ampleur de mon retard, mais je te souhaite un très bon anniversaire chère Tili ♥

Cathy a dit…

Et bien, je suis sur la pente descendante, c'est certain... Il ne m'est jamais venu à l'esprit d'aborder les droites comme tu l'as fait:)Tu vas en faire de vraies Mathématiciennes !!!!

Anonyme a dit…

J'ai adoré cette façon d'expliquer la géométrie, autant pour moi adulte que pour mon fils qui me dit sans cesse ne pas aimer la géométrie car il ne voit pas à quoi ça sert. Ce n'est pas la vie me dit . J'etais mal à l'aise. Avec votre explication l'aspect abstrait disparait et le concret prend le dessus. Bravo et merci. Tres belle façon d'aborder la géométrie qui devrait être utilisé par tous les enseignants. MERCI.